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把三角形的面积公式刨根问底，会是什么样？
发布时间：2017-06-26作者：审核：点击：
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数学是什么、学什么、怎么学，是大家感兴趣，却很难说清楚的事情。现在，我想拿简单的三角形面积公式说事，希望能举一反三，从特殊到一般，增加大家对数学的认识。
可能有人说：底乘高除以2那点事，还需要刨根问底吗？其实，数学中很多简单的基本问题，往往隐藏着比较多、比较深的道理，只要符合逻辑地刨根问底，就经常可以刨出许多意想不到的收获！
问题清单
1.为什么三角形的学习内容很重要
2.为什么三角形面积的计算很重要
3.底乘高是什么意思，除以2呢
4.什么是面积，什么是单位面积
5.公式的推导过程带来哪些收获
6.初中学生还可以怎么推导
7.中小学的各种面积公式知多少
一、为什么三角形的学习内容很重要
小学、初中和高中都要学三角形：小学主要是认识三角形并计算三角形的面积，初中主要学习三角形的全等、相似以及解直角三角形，高中主要学习解任意的三角形。
从小学到初中、高中对三角形的学习，是一个从简单到复杂、从特殊到一般的过程，难度越来越大，综合性越来越强。所以，小学、初中的三角形基础对高中的学习很重要。
三角形是整个中小学最基本、最重要的学习内容，特别是初中，学习三角形是学习一般平行四边形、特殊平行四边形、梯形、任意多边形以及圆形的重要基础。比如，对任意多边形内角和的计算问题，都可以通过转化的方法，转化为三角形的内角和来解决。阅读下面的表格，看懂了就能理解：把三角形的知识学好了有多么重要！其实，在初中、高中的数学中，经常需要把复杂图形、复杂问题转化为三角形的问题，从而使复杂图形和复杂问题得到突破、解决。
二、为什么三角形面积的计算很重要
小学生学习三角形的面积公式时，一般认为：能套公式计算就行了。但是，这个要求比较低，因为到初中和高中时就会发现：如果对三角形的面积公式只能死记硬背，对面积问题和面积公式理解得太少了，就不能在新的情况下灵活应用。
在初中、高中的数学题中，有时专门拿三角形的面积说事，有时把三角形的面积作为中间环节。
初中时，在直角坐标系中，在一次函数、反比例函数或二次函数图像的背景里，可能还和各种各样的平行四边形混合在一起，经常需要计算各种形状的三角形的面积。高中时，对任意三角形的面积计算，不仅多出了几个公式，而且明显增加了对公式理解的难度，增加了套用公式计算的难度以及灵活应用的难度。但无论怎样，小学时学的那个底乘高除以2的面积公式以及其中蕴涵的面积基本问题，仍然是重要的基础。
所以，到初中、高中时重新思考三角形面积的计算公式及其相关的问题，是一件很有必要的事情。其实，这也是一种很重要的学习方法：在学习新知识的过程中，一定要根据需要，及时复习、强化相关的旧知识。只有这样学，才能把新知识学得更好！
换句话说就是：对于三角形的面积公式，如果认为主要是小学的内容，初中、高中不需要再学习、再探究了，那就错了。
三、底乘高是什么意思，除以2呢
如图，将两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形：
拼成的平行四边形的面积等于两个三角形的面积，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。所以，一个三角形的面积等于等底等高的平行四边形面积的一半，简要地说就是：“等底等高，面积一半”。
因为平行四边形的面积等于底乘高，所以，三角形的面积等于底乘高除以2。
通过以上简要的推导过程，就明白了：在三角形的面积公式中，底乘高的意思就是平行四边形的面积，除以2的意思就是平行四边形面积一半。
那为什么平行四边形的面积等于底乘高呢？
请看图，可把平行四边形的面积转化为长方形的面积，这时，平行四边形的底就是长方形的长，高就是长方形的宽。因为长方形的面积等于长乘宽，所以，平行四边形的面积就等于底乘高。
关于长方形的面积为什么等于长乘宽，请继续往下看。
四、什么是面积，什么是单位面积
面积就是物体表面或平面图形所占区域的大小。
如果物体或立体图形的表面是曲面，那就将曲面展开成平面后再计算面积。
单位面积就是计算面积大小时所规定的基本单位，就像计算长度时，必须事先规定单位长度一样。
比如：在计算长度时，首先规定单位长度1米是多长，然后再计算线段的长度是单位长度1米的多少倍，如果是15倍，那这个线段的长度就是15米。在计算面积时也一样，首先规定单位面积1平方米是多大区域，然后再计算平面图形的面积是单位面积1平方米的多少倍，如果是6倍，那这个平面图形的面积就是6平方米。
如图所示，先规定1平方厘米的单位面积：
继续看图，在计算长方形的面积时，就计算这块长方形的区域是单位面积1平方厘米的多少倍：
从上图可知：长方形面积是单位面积1平方厘米的3×5=15倍，所以这个长方形的面积就是15平方厘米。其实，这也是长方形的面积等于长乘宽的基本道理。
五、公式的推导过程带来哪些收获
《国家义务教育数学课程标准》指出，数学课程的内容“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。所以，对于三角形的面积公式，不仅理解、记住并应用公式，而且推导过程和其中蕴涵的思想方法，都是学习的内容。
通过三角形面积公式的推导过程，至少可以在三个方面有所学习与训练：
1.推导过程中把三角形的面积转化成平行四边形的面积，再把平行四边形的面积转化成长方形的面积，这是运用了转化的思想和方法。转化的思想和方法，是数学中经常用到的基本思想方法，如果学习掌握好了，那数学能力水平将明显提高。
2.在推导三角形面积公式的过程中，虽然简单，但既要分析图形，又要适当计算，这就运用了数形结合的思想和方法。数学是研究数和图的，经常图中有数、数中有图，数形结合的思想方法，也是数学中经常用到的基本思想方法。只有上升到基本思想方法的层面，才能让数学的学习达到相当的高度。
3. 在推导三角形面积公式的过程中，既运用了文字语言，又运用了图形语言和符号语言。对数学中三种语言的学习与训练，对学好数学、用好数学是非常重要的。
六、初中学生还可以怎么推导
初中学生比小学生在三角形方面的知识量明显增加了，用初中数学的知识，采取有别于小学的推导方法，并尝试用多种方法重新推导三角形的面积公式，让推导过程更清楚、更严谨，是件有意义、有必要的事。
推导的方法比较多，这里提供两种简单方法的图形，请读者把图形读懂并写出推导过程。只要思考并做到了，就一定有益。
推导方法1的图形：
推导方法2的图形：
七、中小学的各种面积公式知多少
对于面积的计算，不仅中小学，而且大学、社会生产生活里，都经常会遇到各种各样的问题。这里，把中小学各种面积公式顺便整理如下，供参考：
